OpenGL ES를 이용한 3차원 컴퓨터 그래픽스 입문 Chapter 02 수학 기초

2.1 행렬과 벡터(Matrices and Vectors)

행렬(matrix)

행(row)과 열(column)로 구성, m개의 행과 n개의 열을 가진 행렬은 다음과 같이 표현

 

행렬의 크기는 m x n 으로 표기, m과 n이 같다면 정사각행렬(square matrix)이라 한다.

행렬 각 원소의 아래첨자는 그 원소의 위치를 말한다.

 

행렬 곱셈

A의 크기가 l x m 이고, B의 크기가 m x n 이라면, AB의 크기는 l x n 이 된다.

 

백터

행벡터

2차원 벡터는 (x, y), 3차원 벡터는 (x, y, z)로 표기

 

열백터

 

행렬-벡터 곱셈

 

전치행렬(transpose)

$M^T$로 표기

위의 행렬 M의 전치행렬은 다음과 같다.

\begin{pmatrix} a & c & e \\ b & d & f \end{pmatrix}

이는 벡터에도 그대로 적용된다. 열벡터 $v$의 원소를 행벡터로 표현하면 $v^T$가 된다.

행렬-벡터 곱셈은 다른 방식으로 표현될 수 있다. 열벡터 $v$ 대신 행백터 $v^T$를 사용하고, $M^T$의 왼쪽에 배치한다.

아래 수식은 위의 $Mv$에 $(AB)^T = B^TA^T$를 적용한 것과 같다.

OpenGL은 열벡터를 사용하고 행렬-벡터 곱셈에서 행렬의 오른쪽에 벡터를 위치시키고, Direct3D는 행벡터를 사용하고 행렬-벡터 곱셈에서 행렬의 왼쪽에 벡터를 위치시킨다.

 

단위 행렬(identity matrix)

정사각행렬 중, 왼쪽 위 끝과 오른쪽 아래를 잇는 대각 원소 모두 1이고 나머지 원소는 모두 0인 경우다.

$I$로 표기한다.

 

임의의 행렬 &M&에 대해서 다음과 같이 $MI=IM=M$이 성립한다.

역행렬(Inverse)

두 개의 정사각행렬 $A$와 $B$가 곱해져서 그 결과가 $I$가 된다면, 즉 $AB=I$ 라면, $B$는 $A$의 역행렬이라 부르고 $A^{-1}$로 표기

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

 

정규화(normalization)

2차원 벡터 $v$의 좌표를 $(v_x, v_y)$로 표현할 때, $v$의 길이는 $\sqrt{{v_x}^2+ {v_y}^2 }$으로 정의되고 $\left\|v\right\|$로 표기

3차원 벡터 $v$의 좌표를 $(v_x, v_y, v_z)$의 길이는 $\sqrt{{v_x}^2+ {v_y}^2+{v_z}^2 }$이 된다.

벡터 $v$를 그 길이 $\left\|v\right\|$로 나누는 과정을 정규화라고 한다.

 

단위 벡터(unit vector)

$\frac{ v }{ \left\|v\right\| }$는 $v$와 같은 방향을 가지며 길이가 1인 벡터이다. 이를 단위 벡터라 한다.

 

 

2.2 좌표계와 기저(Coordinate System and Basis)

좌표계 = 원점 + 기저

직교정규기저는 단위 벡터들의 직교 집합이다.

2차원 좌표계에서 모든 벡터는 기저 벡터의 선형 조합으로 정의될 수 있다.

${e_1, e_2}$를 기저(basis)라고 부르는데, 주축(principal axis)에 나란하므로 특별히 표준 기저(standard basis)라고 한다.

서로 직교하는 단위 벡터이므로 직교정규(orthonormal) 성질을 가진다고 한다.

표준 기저 말고도 다양한 기저를 사용할 수 있다. 위 그림 중 우측에 해당한다.

 

2.3 내적(Dot Product)

두 개의 n차원 벡터 a와 b를 각각 (a_1, a_2, \cdots, a_n)과 (a_1, a_2, \cdots, a_n)으로 표현된다면, a와 b의 내적(inner product 또는 dot product)은 $a \cdot b$ 로 표기되고 다음과 같이 정의된다.

$ a \cdot b = \sum_{i=1}^{n}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n $

두 벡터 $a$와 $b$ 사이의 각도를 θ로 표기하면 $ a \cdot b $는 기하학적으로 다음과 같이 정의

$a\cdot b=||a||||b||\cos{\theta}$

• a와 b가 서로 수직이면 θ가 $90^\circ$가 되어 $a \cdot b$는 0
• θ가 예각이면 $a \cdot b$는 양수
• θ가 둔각이면 $a \cdot b$는 음수

하나의 단위 벡터를 자기 자신과 내적하면 1이 된다.

서로 수직인 벡터의 내적은 0이다.

하나의 직교정규 기저가 있을 때, 동일한 기저 벡터 간 내적은 1이고, 다른 기저 벡터 간 내적은 0이다.

이는 모든 직교정규 기저가 가지는 성질이다.

2.4 벡터곱(Cross Product)

벡터곱은 3차원에서만 정의되는 연산이다.

두 개의 3차원 벡터 a와 b의 벡터곱(cross product)은 $a \times b$로 표기

이는 a와 b에 모두 수직인 또 다른 3차원 벡터이다.

벡터곱 $a \times b$은 오른손 법칙(right-hand rule)으로 결정된다. 오른손 네 손가락이 첫 번째 벡터 a에서 두 번째 벡터 b쪽으로 감싸며 움직일 때 엄지손가락이 $a \times b$의 방향을 가리키게 된다.

$a \times b$의 길이는 a와 b에 읳해 만들어지는 평행사변형의 넓이와 같다.

$||a\times b||=||a||||b||\sin{\theta}$

$b \times a$와 $a \times b$는 서로 반대 방향을 가진다. $b \times a = -(a \times b)$가 된다. 이런 점에서 벡터곱을 반가환적이라 부른다. 물론 두 길이는 같다.

 

2.5 직선 및 선형보간(Linear Interpolation)

두 개의 점 $p_0$와 $p_1$을 지나는 직선을 생각해보면, $p_0$, $p_0$와 $p_1$을 잇는 벡터인 $p_1 - p_0$를 사용하여 다음과 같은 매개변수 방정식(parametric equation)으로 정의된다.

$p(t) = p_0 + t(p_1-p_0)$

t가 [-∞, ∞] 범위면 양쪽으로 무한히 뻗는 직선을 표현

t가 [0, ∞] 범위면 $p_0$에서 $p_1-p_0$ 방향으로 무한하게 뻗는 광선(ray)이 된다.

t의 범위가 유한하게 한정되면 선분을 표현

 

수식을 다시 쓰면

$p(t) = (1-t)p_0 + tp_1$

(1-t)와 t를 각각 $p_0$와 $p_1$에 대한 가중치(weight)로 보면, $p(t)$는 $p_0$와 $p_1$의 가중치 합(weighted sum)이 된다. 특히 t의 범위가 [0, 1]일 때, $p(t)$는 $p_0$와 $p_1$의 선형보간(linear interpolation)이라고 한다.

 

2차원, 3차원에서는 선형보간을 이용해 각각 다음과 같은 $p(t)$의 좌표를 얻는다.

$p_0$와 $p_1$에 특정한 값이 저장되어 있다면, 그 값들도 선형보간될 수 있다.

 

예를 들어 $p_0$에  $c_0$라는 색상이 저장되어 있고 그 원소를 $(R_0, G_0, B_0)$라 하자. 마찬가지로 $p_1$에 $c_1$이라는 색상이 지정되어 있고 그 원소를 $(R_1, G_1, B_1)$이라 하자.

선형 보간된 색상은 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

출처

[OpenGL ES를 이용한 3차원 컴퓨터 그래픽스 입문]을 보고 공부하고 정리한 내용