OpenGL ES를 이용한 3차원 컴퓨터 그래픽스 입문 Chapter 04 좌표계와 변환

게임과 같은 3차원 가상 공간은 많은 물체들로 구성되어 있다.

각 물체의 위치는 이동(translation)에 의해, 방향은 회전(rotation)에 의해, 크기는 축소확대(scaling)에 의해 결정된다.

이동, 회전, 축소확대를 총칭해서 변환(transform)이라고 한다.

4.1 2차원 변환의 행렬 표현

4.1.1 축소 변환

2차원 축소확대는 2 x 2 행렬로 표현된다.

$s_x$dhk $s_y$는 각각 x축과 y축 방향의 축소확대 인자(scaling factor)

그 값이 1보다 작으면 축소, 1보다 크면 확대를 의미

2차원 벡터(x, y)는 행렬-벡터 곱셈을 통해 축소확대된다.

 

4.1.2 회전

2차원 벡터 p는 원점을 기준으로 θ만큼 회전하여 p' 가 된다. 벡터 p의 길이가 r이라면 p의 좌표는 다음과 같다.

회전한 벡터 p' 의 길이도 r이므로 p'의 x좌표는 다음과 같다.

y좌표는 다음과 같다.

하나의 행렬-벡터 곱셈으로 정리하면 다음과 같다.

2 x 2 행렬이 2차원 회전을 표현하는데, 이를 R(θ)라고 표기

- θ만큼 회전은 2π- θ만큼 회전화는 것과 동일하다. ex) R(-90°) = R(270°)

 

4.1.3 이동과 동차 좌표

축소확대, 회전은 선형 변환(linear transform)이라는 범주에 속한다.

이동은 (x, y)에 놓인 점을 (x+dx, y+dy)로 이동시키는데, (dx, dy)를 변위 벡터(displacement vector)라고 부른다.

이동은 선형 변환의 범주에 속하지 않고, 벡터 덧셈으로 구현된다.

행렬 곱셈으로 구현되는 축소확대 및 회전과는 다른 형태다.

동차 좌표(homogeneous coordinates)를 사용하면 행렬 곱셈으로 구현될 수 있다.

한 점의 카테시안 좌표(x, y)가 주어질 때 이에 대한 동차 좌표는 간단히 (x, y, 1)로 표현할 수 있다.

이동 행렬은 3 x 3 단위 행렬의 마지막 열에 아래처럼 (dx, dy)를 삽입하면 완성된다.

동차 좌표로 표현된 점에 이 행렬을 곱하면 다음과 같다.

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참고

변환(또는 사상) T가 다음을 만족하면 선형(linear)이라 한다.

• T의 정의역에 속하는 모든 u, v에 대하여 \( T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \)
• 모든 스칼라 c와 T의 정의역에 속하는 모든 u에 대하여 \( T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) \)

모든 행렬 변환은 선형변환이다.

선형 변환은 벡터합과 스칼라곱 연산을 보존한다.

 

이동은 위의 조건을 만족하지 않는다.

 

이동 변환은 벡터 \(\mathbf{v}\)를 고정된 벡터 \(\mathbf{a}\)만큼 이동시키는 변환이다. 즉,
\[ T(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + \mathbf{a} \]

고정된 이동 벡터를 \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)로 설정

1) 덧셈에 대한 보존조건

벡터 \(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)와 \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)

 

\[ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right) = T \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \]

 

\[ T(\mathbf{u}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} \]
\[ T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix} \]

 

덧셈에 대한 보존 조건을 만족하려면,
\[ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \]
여기서,
\[ \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \end{pmatrix} \]

따라서, 덧셈에 대한 보존 조건을 만족하지 않는다.

 

2) 스칼라 곱에 대한 보존 조건

벡터 \(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)와 스칼라 \(c = 3\)

\[ T(c\mathbf{u}) = T \left( 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = T \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \]

\[ T(\mathbf{u}) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]
\[ cT(\mathbf{u}) = 3 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} \]

스칼라 곱에 대한 보존 조건을 만족하려면,
\[ T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u}) \]
여기서,
\[ \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 9 \\ 12 \end{pmatrix} \]

따라서, 스칼라 곱에 대한 보존 조건을 만족하지 않는다.

 

이동변환은 위 두 조건을 만족하지 않아 선형 변환이 아니다.

선형변환과 이동을 하나의 행렬로 표현하기 위한 아핀 변환이 필요하다.

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2차원 카테시안 좌표 (x, y)의 동차 좌표는 (x, y, 1)로 국한되지 않는다.

(wx, wy, wz)로 표현된다. w는 0이 아니어야 한다.

위 사진에서 (2, 3)의 동차 좌표는 (2, 3, 1), (4, 6, 2), (6, 9, 3) 등 무한히 많다.

즉, (x, y, 1)은 카테시안 좌표 (x, y)에 해당하는 무한히 많은 동차 좌표 중 하나이다.

동차 좌표  (X, Y, w)가 주어졌을 때, 전체를 w로 나누면 (X/w, Y/w, 1)이 된다.

위 사진에서는 3차원 직선 위의 한 점(X, Y, w)를 직선에 따라 w=1 평면으로 투영(project)시키는 모습이다.

이러한 투영 후에 (X/w, Y/w)를 취하면 카테시안 좌표가 된다.

 

동차좌표를 다루기 위해서는 축소확대와 회전의 2 X 2 행렬의 형태를 다음과 같이 각각 변경해야 한다.

(좌) 축소확대, (우) 회전

 

4.1.4 2차원 변환의 결합

여러 번의 변환을 하나로 합칠 수 있다.

행렬 곱셈에서는 교환 법칙이 성립되지 않는다.

TR 과 RT의 결과가 다르다.

 

임의의 점을 중심으로 하는 회전

 

임의의 점 (a, b)를 중심으로 (x, y)를 회전하는 것은 세 단계로 나눠져 구현된다.

1) (x, y)를 (-a, -b)만큼 이동

2) 이동된 점 (x-a, y-b)를 원점 중심으로 회전

3) 회전 결과를 (a, b)만큼 이동

 

4.2 아핀 변환

이동은 선형 변환에 속하지 않는다. 선형변환과 이동을  포함하는 아핀 변환(affine transform)에 속한다.

2차원 아핀 변환은 3 X 3 행렬로 표현되므로, 몇 개의 아핀 변환이 주어지건 모두 하나의 행렬로 결합 가능하다.

행렬의 3번 행은 항상 (0 0 1)로 고정된다.

 

고정되는 3번 행을 무시하고 나머지 2 X 3 행렬을 [L|t]로 표기하자.

L은 왼쪽의 2 X 2 행렬, t는 3번 열을 말한다.

L은 '누적된 선형 변환', t는 '누적된 이동'을 표현한다.

L에는 어떠한 이동 요소도 포함되지 않는다.

t는 입력으로 주어진 선형 변환을 포함할 수 있다. (위 사진에서 세 번째 열을 보면 변위 벡터 원소 뿐 아니라 선형 변환까지 포함하고 있음)

어떤 물체를 [L|t]로 변환하는 것을 개념적으로 해석하면, 그 물체에 L을 먼저 적용하고 그렇게 선형 변환된 물체에 t를 적용하는 것과 같다. 즉, 폴리곤 메시로 표현된 물체의 각 정점을 p라 할 때, Lp + t 방식으로 변환이 이루어지는 것이다.

 

강체 변환(rigid motion)

축소확대 없이 회전과 이동이 결합된 변환에서는 물체의 방향과 위치를 변경시킬 뿐 그 물체의 외양에는 여향을 미치지 못한다. 이를 강체 변환이라 함

 

4.3 3차원 변환의 행렬 표현

4.3.1 축소확대

3차원 축소확대는 3 X 3 행렬로 표현된다.

2차원  2 X 2 행렬에 z축 방향 축소확대 인자가 추가된 것이다.

모든 축소확대 인자가 같으면 균등(uniform)하다고, 그렇지 않으면 비균등(non-uniform)하다고 부른다.

4.3.2 회전

회전중심(center of rotation)을 필요로 했던 2차원 회전과는 다르게, 3차원 회전은 회전축(axis of rotation)을 필요로 한다.

위 사진은 z축을 중심으로 θ=90°만큼 회전시킨 것이다.

 

주축 중심 회전을 구하는 법

위의 사진은 z축 중심 회전을 구한 것으로 x축 중심 회전을 유도하는 것이다.

오른손 법칙에서 오른손 엄지 손가락을 회전축과 나란히 놓으면, 나머지 네 손가락이 회전 방향이 된다.

위 사진에서는 엄지 손가락이 x축과 나란하고, 네 손가락은 y축에서 z축 방향으로 감싸쥐게 된다. 

$x' = x$

$y' = y\cos\theta - z\sin\theta$

$z' = y\sin\theta + z\cos\theta$

 

4.3.3 이동과 동차 좌표

동차 좌표를 이용한 3차원 이동은 4 X 4 단위 행렬의 마지막 열에 (dx, dy, dz)를 삽입한 것으로 정의된다.

3차원 점의 동차 좌표(x, y, z, 1)에 곱하면 다음과 같이 된다.

3차원 축소확대 및 회전 행렬도 동차 좌표계에서는 4 X 4 크기를 가지게 된다.

축소확대는 다음과 같이 된다.

4.4 월드 변환

오브젝트 공간(object space)

• 하나의 물체를 모델링하는 데 사용되는 좌표계

월드 공간(world space)

• 각자의 오브젝트 공간에서 정의된 물체들로 3차원 가상 환경을 구성하기 위해 하나의 좌표계로 통합할 때 사용하는 좌표계

월드 변환(world transform)

• 오브젝트 공간의 좌표로 되어있는 모델 정보를 월드 공간에서 구성하기 위한 변환

3D 공간에서의 아핀 변환

 

4.5 회전과  오브젝트 공간 기저

오브젝트 공간에서 한 물체의 모델링이 완료되면, 그 물체는 자신의 오브젝트 공간과 일체가 된다.

즉, 물체를 움직이게 되면 그 오브젝트 공간도 따라서 같이 움직인다.

위 사진에서 $\left\{e_1, e_2, e_3 \right\}$는 월드 공간의 기저, $ $\left\{u, v, n \right\}$ 은 오브젝트 공간의 기저를 나타낸다.

초기에 그 둘은 일치하지만 물체가 회전하면 다르게 된다.

회전 후 물체의 방향은 $\left\{ u, v, n \right\}$ 으로 표현할 수 있다.

물체에 적용된 회전을 R이라하면 각 월드 공간의 기저 원소들에 적용되게 된다.

이를 한 번에 표현하면 위 사진에서 두 번째 줄처럼 된다. 단위 행렬이 곱해진 것과 같으므로 R이 오브젝트 공간의 기저인 것을 얻을 수 있다.

여기서, 회전된 물체의 오브젝트 공간 기저인 $\left\{ u, v, n \right\}$ 이 주어졌다면, 그 회전 행렬을 즉각 정의할 수 있다는 것을 알 수 있다. 즉, 회전 행렬은 $\left\{u, v, n \right\}$ 으로 세 열을 채우면 된다.

반대로 회전 행렬이 주어졌다면, 그 행렬의 세 열이 바로 물체의 오브젝트 공간 기저 $\left\{u, v, n \right\}$ 이 된다.

이는 모든 회전에 적용된다.

 

주축이 아닌 임의의 축을 중심으로 하는 회전에서도 적용된다.

4.6 역변환

역변환(inverse transform)은 매우 자주 사용되는 중요한 개념

변위 벡터가 (dx, dy, dz)인 이동 $T$의 역변환은 (-dx, -dy, -dz)만큼 이동하는 것이다.

 

$T$의 역변환을 $T^{-1}$이라고 표기, 실제로 $T$의 역행렬이 된다.

$\left(s_x, s_y, s_z\right)$를 축소확대 인자로 가지는 축소확대 역변환은 다음과 같다.

 

 

회전의 역변환

항상 오브젝트 공간 기저 $\left\{{u, v, n\right\}$이 직교정규 성질을 가진다고 가정한다.

따라서 하나의 기저 벡터가 자신과 내적되었을 때 그 결과는 1이다.

반면, 서로 다른 기저 벡터 간 내적은 0이다.

이를 이용해 회전 행렬과 그 전치행렬의 곱을 정리하면 다음과 같다.

$R^{T} = R^{-1}$임을 보이고 있다.

회전의 전치행렬을 취하면 바로 역변환을 얻게 된다.

 

출처

[OpenGL ES를 이용한 3차원 컴퓨터 그래픽스 입문]을 보고 공부하고 정리한 내용